Find in Library

Un problema centrale in geometria riemanniana `e quello di classificare le varietà riemanniane a partire da uno o più invarianti di carattere globale. Sono considerati in particolare tre invarianti: lo spettro delle lunghezze delle geodetiche periodiche, lo spettro del laplaciano, la rappresentazione quasi-regolare. Dopo la costruzione (Milnor 1964) di esempi di varietà riemanniane non isometriche aventi però lo stesso spettro del laplaciano, nel 1985 Sunada, utilizzando metodi di teoria delle rappresentazioni, trovò una condizione algebrica sufficiente per l’isospettralità di due quozienti di una varietà riemanniana rispetto a due sottogruppi discreti di un gruppo di isometrie della varietà. Data una varietà riemanniana (X, m) (che ammetta un quoziente compatto) e fissato un gruppo G di isometrie di (X, m), i problemi principali trattati in questo articolo sono: 1) sotto quali condizioni due varietàdel tipo (Γ1\X, m) e (Γ2\X, m), essendo Γ1 e Γ2 due sottogruppi discreti di G, sono isospettrali? 2) fissato un sottogruppo discreto Γ0 di G, quali sono le principali proprietà dell’insieme di tutti i sottogruppi Γ di G tali che le varietà (Γ0\X, m) e (Γ\X, m) siano isospettrali? 3) E possibile ottenere un inverso “generico” del teorema di Sunada?