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Let <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> be an integer and denote <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </msub> </semantics> </math> </inline-formula> as the <i>k</i>-Fibonacci sequence whose terms satisfy the recurrence relation <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, with initial conditions <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. In the same way, the <i>k</i>-Lucas sequence <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </msub> </semantics> </math> </inline-formula> is defined by satisfying the same recursive relation with initial values <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>k</mi> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. The sequences <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </semantics> </math> </inline-formula> were introduced by Falcon and Plaza, who derived many of their properties. In particular, they proved that <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, for all <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. In this paper, we shall prove that if <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>k</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>∈</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> for infinitely many positive integers <i>n</i>, then <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. Similarly, that if <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>∈</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> holds for infinitely many positive integers <i>n</i>, then <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> or <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. This generalizes a Marques and Togbé result related to the case <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>. Furthermore, we shall solve the Diophantine equations <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>, <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula> and <inline-formula> <math display="inline"> <semantics> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </semantics> </math> </inline-formula>.